Lapin kamariorkesterin taiteellisena johtajana Storgårds aloitti vuonna 1996. Hän on keväästä 2023 alkaen myös BBC Philharmonic Orchestran ylikapellimestari, mitä kiinnitystä edelsi kymmenvuotinen ura orkesterin päävierailijana. Syksystä 2015 alkaen Storgårdsilla on ollut päävierailijan kiinnitys Ottawassa National Arts Center Orchestrassa. Lisäksi Storgårds on työskennellyt myös Münchenin kamariorkesterin taiteellisena partnerina, Helsingin Kaupunginorkesterin päävierailijana ja ylikapellimestarina, Oulu Sinfonian ja Tapiola Sinfoniettan vakinaisena kapellimestarina sekä Tampere Filharmonian ylikapellimestarina.

Storgårds johtaa säännöllisesti myös muita maailman huippuorkestereita, esimerkiksi Berliinin, Münchenin ja New Yorkin filharmonikkoja, Bambergin sinfonikkoja sekä Saint Louisin, Chicagon ja Bostonin sinfoniaorkestereita. Kausilla 2022–2024 hänet nähdään muun muassa Atlantan, Chicagon, Bostonin ja Montrealin sinfoniaorkestereiden sekä Tokion Metropolitan-orkesterin, Stuttgartin radio-orkesterin, Tukholman filharmonikkojen ja Wienin Tonkünstler-orkesterin johtajana. Storgårds kuuluu myös Lontoon Promsin vakioesiintyjiin BBC:n filharmonikkojen kanssa.

Oopperakapellimestarina Storgårds on toiminut monissa Kansallisoopperan produktioissa, mm. Sebastian Fagerlundin menestysoopperassa Höstsonaten – Syyssonaatti. Tuoreimpana soi helmikuussa 2023 kansallisoopperassa nähtävä Dmitri Shostakovitsin Mtsenskin kihlakunnan Lady Macbeth. Savonlinnan oopperajuhlilla Storgårds on johtanut mm. Mozartin Don Giovannin vuonna 2016. 

Storgårdsin orkesterilevytysten luettelo on mittava. Levytyksiin lukeutuvat mm. Sibeliuksen ja Nielsenin sinfonioiden kokonaislevytykset. Storgårds esiintyy ja levyttää ahkerasti myös viulistina. Storgårds on saanut lukuisia julkisia tunnustuksia, mm. säveltaiteen valtionpalkinnon vuonna 2002, Pro Finlandia –mitalin vuonna 2012 sekä Pentti Kaiteran rahaston vuoden 2022 tunnustuspalkinnon. Hän on Lapin ylipiston kunniatohtori.